[בין כסא לעשור תשי"א]
...אמירת העולה לתורה חזק חו"נ - לא חשיב הפסק כי הוא שייך לקריאת הסיום (ראה שו"ע אדה"ז סקס"ז ס"ט). וגם הוא אומר[1], כי נוסחא שלנו היא ונתחזק...
- 1 היינו שלא תאמר שבאמת הקהל אומר חזק וכו' אבל לא העולה לתורה - ע"ז אומר אדמו"ר כי בודאי שהעולה אומר שהרי אומרים בנוסחא שלנו ונתחזק, היינו שהעולה שקיבל את עליית חזק אומר להקהל שנתחזק (ובשלמא להנוסח שאומרים רק חזק אפשר לומר שהקהל אומר את זה להעולה אבל העולה בעצמו אינו מפסיק באמירת חזק, אבל כיון שאומרים גם ונתחזק, היינו זה שהתחזק ע"י עלייתו בסיום אומר לכולם שנתחזק)
Between Kiseh LeAsor, 5711.
...The statement by the one called to the Torah, 'Chazak Chazak VeNitchazek,' is not considered an interruption because it pertains to the concluding reading (see Shulchan Aruch Admur HaZaken, Siman Kuf Samech Zayin, Seif Tet). He also says [1], that our version is 'VeNitchazek'...
This means: do not think that in fact only the congregation says 'Chazak' etc., but not the one called to the Torah. On this, Admor says that certainly the one called says it, since in our version we say 'VeNitchazek,' meaning that the one who received the aliyah of 'Chazak' tells the congregation 'let us be strengthened.' (And according to the version where only 'Chazak' is said, one could say that only the congregation says it to the one called up, but he himself does not interrupt by saying 'Chazak.' However, since we also say 'VeNitchazek,' it means that he who was strengthened through his aliyah at the conclusion tells everyone: let us be strengthened.)
Summary
The Rebbe clarifies that saying 'Chazak Chazak VeNitchazek' by both the congregation and the one called up is appropriate and does not constitute an interruption in Torah reading. The phrase emphasizes mutual encouragement at a Torah reading's conclusion.